$\displaystyle f(n)= \frac{ \alpha (n-1)+ \beta }{ 2^{n-1} }$ とおいて、 $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N},~~\frac{2n-1}{2^n}=f(n+1)-f(n) \cdots ①$ が成立する $\alpha, \beta$ を求める。

\begin{eqnarray}
① &\Leftrightarrow& \forall n \in \mathbb{N}, ~~\frac{2n-1}{2^n}= \frac{ \alpha n+ \beta }{ 2^n } - \frac{ \alpha (n-1)+ \beta }{ 2^{n-1} } \\[5pt]
&\Leftrightarrow& \forall n \in \mathbb{N},~~2n-1= \alpha n+ \beta - 2\{ \alpha (n-1)+ \beta \} \\[5pt]
&\Leftrightarrow& \forall n \in \mathbb{N},~~2n-1= -\alpha n+2\alpha- \beta \\[5pt]
&\Leftrightarrow& \alpha =-2~~ \land ~~ \beta = -3 \\[5pt]
\end{eqnarray}

ゆえに、 $\displaystyle f(n)= \frac{ -2 (n-1)-3 }{ 2^{n-1} }$ であり、

\begin{eqnarray}
\sum_{k=1}^n\frac{2k-1}{2^k} &=& \sum_{k=1}^n f(k+1)-f(k) \\[5pt]
&=& f(n+1)-f(1) \\[5pt]
&=& \frac{-2n-3}{2^n}-(-3) \\[5pt]
&=& 3-\frac{2n+3}{2^n} \\[5pt]
\end{eqnarray}

2019-01-17

鈴木貫太郎先生の2019年1月16日の一題

信州大三角関数高校数学

問題

解答

始点を原点、終点を単位円上に有する $3$ つのベクトル

$( \cos t, \sin t ), ~~( \cos (t+\alpha ), \sin(t+ \alpha ) ), ~~( \cos(t+\beta), \sin(t+\beta))$

を考える。

$\alpha, \beta$ の条件は、

$\displaystyle \forall t \in \mathbb{R},~~ \cos t+ \cos (t+\alpha )+ \cos (t+\beta )=0$

であるが、これは、上記 $3$ ベクトルの重心の $x$ 座標が常に $0$ であることを意味する。 $\cdots ①$

ここで、ある $t$ で重心の $y$ 座標が $0$ でないと仮定すると、 $t$ を少し動かす、すなわち、上記 $3$ ベクトルを原点を中心に少し回転させると、重心の $x$ 座標が $0$ でなくなってしまい、 $①$ に反する。ゆえに、重心の $y$ 座標も常に $0$ でなければならない。

以上から、結局、 $\alpha, \beta$ の条件は、

$\displaystyle \forall t \in \mathbb{R}~~\{ \cos t+ \cos (t+\alpha )+ \cos (t+\beta )=0~~ \land ~~ \sin t+ \sin (t+\alpha )+ \sin (t+\beta )=0\}$

と同値である。

これは上記 $3$ ベクトルがそれぞれを辺とする正三角形をなすことを意味しており、 $3$ ベクトルの始点を原点にそろえれば終点も正三角形をなす。 $0\lt \alpha \lt \beta \lt 2\pi$ より、 $( \cos t, \sin t ), ~~( \cos (t+\alpha ), \sin(t+ \alpha ) ), ~~( \cos(t+\beta), \sin(t+\beta))$ が常にこの順に反時計回りに並んでいるので、求める $\alpha, \beta$ の条件は、

$\displaystyle \alpha =\frac{2\pi}{3}~~ \land ~~ \beta =\frac{4\pi}{3}$

2019-01-15

鈴木貫太郎先生の2019年1月15日の一題

同志社　数列の和

問題

解答

$\displaystyle f(n)= \frac{ \alpha (n-1)+ \beta }{ n(n+1) }$ とおいて、 $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N},~~\frac{4n+3}{n(n+1)(n+2)}=f(n+1)-f(n) \cdots ①$ が成立する $\alpha, \beta$ を求める。

\begin{eqnarray}
① &\Leftrightarrow& \forall n \in \mathbb{N}, ~~\frac{4n+3}{n(n+1)(n+2)}= \frac{ \alpha n+ \beta }{ (n+1)(n+2) } - \frac{ \alpha (n-1)+ \beta }{ n(n+1) } \\[5pt]
&\Leftrightarrow& \forall n \in \mathbb{N},~~4n+3= ( \alpha n + \beta )n+\{ \alpha (n-1) + \beta \}(n+2) \\[5pt]
&\Leftrightarrow& \forall n \in \mathbb{N},~~4n+3= - \alpha n +2\alpha-2\beta \\[5pt]
&\Leftrightarrow& -\alpha =4~~ \land ~~ 2\alpha-2\beta = 3 \\[5pt]
&\Leftrightarrow& \alpha =-4~~ \land ~~ \beta = -\frac{11}{2} \\[5pt]
\end{eqnarray}

ゆえに、 $\displaystyle f(n)= \frac{ -4(n-1)- \displaystyle \frac{11}{2} }{ n(n+1) }$ であり、

\begin{eqnarray}
\sum_{k=1}^n\frac{4k+3}{k(k+1)(k+2)} &=& \sum_{k=1}^n f(k+1)-f(k) \\[5pt]
&=& f(n+1)-f(1) \\[5pt]
&=& \frac{-4n-\displaystyle \frac{11}{2}}{(n+1)(n+2)}-(-\frac{11}{4}) \\[5pt]
&=& \frac{n(11n+17)}{4(n+1)(n+2)} \\[5pt]
\end{eqnarray}

2019-01-15

鈴木貫太郎先生の2019年1月13日の一題

代講　二次曲線の交点の個数

問題

解答

(1)

$2$ つの放物線の交点の条件は、

\begin{eqnarray}
& &
y=x^2 \land x=y^2-3py \\[5pt]
&\Leftrightarrow&
y=x^{2} \land x=x^4-3px^2 \\[5pt]
&\Leftrightarrow&
y=x^{2} \land x(x^3-3px-1)=0 \\[5pt]
&\Leftrightarrow&
y=x^{2} \land ( x=0 \lor x^3-1=3px ) \\[5pt]
\end{eqnarray}

であるから、これらの交点は、放物線 $y=x^2$ と $x$ 軸に垂直な複数の直線 $x=0 \lor x^3-1=3px$ の交点と一致する。さらに、 $x^3-1=3px$ が $x=0$ を解に持たないことに注意すれば、この交点の個数は、 $x^3-1=3px$ を満たす実数解 $x$ の個数 $+1$ となることが分かる。

ここで、 $y=x^3-1$ と $y=3px$ が接する状況を考える。接点の $x$ 座標を $-\alpha$ とおくと、八畳一間の関係から他方の交点の $x$ 座標は $2\alpha$ となるので、 $\forall x, x^3-3px-1=(x+\alpha)^2(x-2\alpha)$ と書ける。このとき $\alpha$ と $p$ の条件は、解と係数の関係より、

\begin{eqnarray}
& &
(-\alpha)^22\alpha =1 \land \alpha ^2+2(-\alpha)(2\alpha)=-3p \\[5pt]
&\Leftrightarrow&
\alpha =\left( \frac{1}{2} \right)^ \frac{1}{3} \land p=\left( \frac{1}{2} \right)^ \frac{2}{3} \\[5pt]
\end{eqnarray}

よって、 $x^3-1=3px$ を満たす実数解 $x$ の個数、すなわち、 $y=x^3-1$ と $y=3px$ の交点の個数は、グラフより、

$\displaystyle p\lt\left( \frac{1}{2} \right)^ \frac{2}{3}$ のとき、 $1$ 個 $\displaystyle p=\left( \frac{1}{2} \right)^ \frac{2}{3}$ のとき、 $2$ 個 $\displaystyle p\gt\left( \frac{1}{2} \right)^ \frac{2}{3}$ のとき、 $3$ 個

以上から、求める $2$ つの放物線の交点は、

$\displaystyle p\lt\left( \frac{1}{2} \right)^ \frac{2}{3}$ のとき、 $2$ 個 $\displaystyle p=\left( \frac{1}{2} \right)^ \frac{2}{3}$ のとき、 $3$ 個 $\displaystyle p\gt\left( \frac{1}{2} \right)^ \frac{2}{3}$ のとき、 $4$ 個

(2)

\begin{eqnarray}
& &
y=x^2 ~~~\cdots① \land x=y^2-3py ~~~\cdots② \\[5pt]
&\Leftrightarrow&
y=x^{2} \land x^2+y^2-x-(3p+1)y=0~~~( \because ①+② )\\[5pt]
&\Leftrightarrow&
y=x^{2} \land \left(x-\frac{1}{2} \right)^2+\left\{ y- \frac{(3p+1)}{2} \right\}^2=\frac{1+(3p+1)^2}{4} \\[5pt]
&\Rightarrow&
\left(x-\frac{1}{2} \right)^2+\left\{ y- \frac{(3p+1)}{2} \right\}^2=\frac{1+(3p+1)^2}{4} \\[5pt]
\end{eqnarray}

よって、 $\displaystyle \frac{1+(3p+1)^2}{4}\gt0$ に注意すれば、 $2$ つの放物線のすべての交点が、同一円周上にあることが示される。

特に交点が $4$ 個のときは、交点すべてを通る円はたかだかひとつであるので、上記がその唯一の円であり、求める円の中心は $\displaystyle \left( \frac{1}{2}, \frac{3p+1}{2} \right)$

Radiologic Radio

あー

束の考え方を使いこなそう

■

最大・最小問題のテンプレ

鈴木貫太郎先生の2019年1月17日の一題

問題

解答

鈴木貫太郎先生の2019年1月16日の一題

問題

解答

鈴木貫太郎先生の2019年1月15日の一題

問題

解答

鈴木貫太郎先生の2019年1月13日の一題

問題

解答