鈴木貫太郎先生の2019年1月16日の一題

 


信州大 三角関数 高校数学

問題

解答

始点を原点、終点を単位円上に有する 3 つのベクトル

( \cos t, \sin t ), ~~( \cos (t+\alpha ), \sin(t+ \alpha ) ), ~~( \cos(t+\beta), \sin(t+\beta))

を考える。

\alpha, \beta の条件は、

\displaystyle \forall t \in \mathbb{R},~~ \cos t+ \cos (t+\alpha )+ \cos (t+\beta )=0

であるが、これは、上記 3 ベクトルの重心の x 座標が常に 0 であることを意味する。 \cdots ①

ここで、ある t で重心の  y 座標が 0 でないと仮定すると、 t を少し動かす、すなわち、上記 3 ベクトルを原点を中心に少し回転させると、重心の x 座標が 0 でなくなってしまい、 ① に反する。ゆえに、重心の y 座標も常に 0 でなければならない。

以上から、結局、 \alpha, \beta の条件は、

\displaystyle \forall t \in \mathbb{R}~~\{ \cos t+ \cos (t+\alpha )+ \cos (t+\beta )=0~~ \land ~~ \sin t+ \sin (t+\alpha )+ \sin (t+\beta )=0\}

と同値である。

これは上記 3 ベクトルがそれぞれを辺とする正三角形をなすことを意味しており、 3 ベクトルの始点を原点にそろえれば終点も正三角形をなす。 0\lt \alpha \lt \beta \lt 2\pi より、( \cos t, \sin t ), ~~( \cos (t+\alpha ), \sin(t+ \alpha ) ), ~~( \cos(t+\beta), \sin(t+\beta)) が常にこの順に反時計回りに並んでいるので、求める \alpha, \beta の条件は、

\displaystyle \alpha =\frac{2\pi}{3}~~ \land ~~ \beta =\frac{4\pi}{3}