鈴木貫太郎先生の2019年1月13日の一題

問題

解答

(1)

$2$ つの放物線の交点の条件は、

\begin{eqnarray}
& &
y=x^2 \land x=y^2-3py \\[5pt]
&\Leftrightarrow&
y=x^{2} \land x=x^4-3px^2 \\[5pt]
&\Leftrightarrow&
y=x^{2} \land x(x^3-3px-1)=0 \\[5pt]
&\Leftrightarrow&
y=x^{2} \land ( x=0 \lor x^3-1=3px ) \\[5pt]
\end{eqnarray}

であるから、これらの交点は、放物線 $y=x^2$ と $x$ 軸に垂直な複数の直線 $x=0 \lor x^3-1=3px$ の交点と一致する。さらに、 $x^3-1=3px$ が $x=0$ を解に持たないことに注意すれば、この交点の個数は、 $x^3-1=3px$ を満たす実数解 $x$ の個数 $+1$ となることが分かる。

ここで、 $y=x^3-1$ と $y=3px$ が接する状況を考える。接点の $x$ 座標を $-\alpha$ とおくと、八畳一間の関係から他方の交点の $x$ 座標は $2\alpha$ となるので、 $\forall x, x^3-3px-1=(x+\alpha)^2(x-2\alpha)$ と書ける。このとき $\alpha$ と $p$ の条件は、解と係数の関係より、

\begin{eqnarray}
& &
(-\alpha)^22\alpha =1 \land \alpha ^2+2(-\alpha)(2\alpha)=-3p \\[5pt]
&\Leftrightarrow&
\alpha =\left( \frac{1}{2} \right)^ \frac{1}{3} \land p=\left( \frac{1}{2} \right)^ \frac{2}{3} \\[5pt]
\end{eqnarray}

よって、 $x^3-1=3px$ を満たす実数解 $x$ の個数、すなわち、 $y=x^3-1$ と $y=3px$ の交点の個数は、グラフより、

$\displaystyle p\lt\left( \frac{1}{2} \right)^ \frac{2}{3}$ のとき、 $1$ 個 $\displaystyle p=\left( \frac{1}{2} \right)^ \frac{2}{3}$ のとき、 $2$ 個 $\displaystyle p\gt\left( \frac{1}{2} \right)^ \frac{2}{3}$ のとき、 $3$ 個

以上から、求める $2$ つの放物線の交点は、

$\displaystyle p\lt\left( \frac{1}{2} \right)^ \frac{2}{3}$ のとき、 $2$ 個 $\displaystyle p=\left( \frac{1}{2} \right)^ \frac{2}{3}$ のとき、 $3$ 個 $\displaystyle p\gt\left( \frac{1}{2} \right)^ \frac{2}{3}$ のとき、 $4$ 個

(2)

\begin{eqnarray}
& &
y=x^2 ~~~\cdots① \land x=y^2-3py ~~~\cdots② \\[5pt]
&\Leftrightarrow&
y=x^{2} \land x^2+y^2-x-(3p+1)y=0~~~( \because ①+② )\\[5pt]
&\Leftrightarrow&
y=x^{2} \land \left(x-\frac{1}{2} \right)^2+\left\{ y- \frac{(3p+1)}{2} \right\}^2=\frac{1+(3p+1)^2}{4} \\[5pt]
&\Rightarrow&
\left(x-\frac{1}{2} \right)^2+\left\{ y- \frac{(3p+1)}{2} \right\}^2=\frac{1+(3p+1)^2}{4} \\[5pt]
\end{eqnarray}

よって、 $\displaystyle \frac{1+(3p+1)^2}{4}\gt0$ に注意すれば、 $2$ つの放物線のすべての交点が、同一円周上にあることが示される。