鈴木貫太郎先生の2019年1月15日の一題

 


同志社　数列の和

問題

解答

\displaystyle f(n)= \frac{ \alpha (n-1)+ \beta }{ n(n+1) } とおいて、 \displaystyle \forall n \in \mathbb{N},~~\frac{4n+3}{n(n+1)(n+2)}=f(n+1)-f(n) \cdots ① が成立する \alpha, \beta を求める。

\begin{eqnarray}
① &\Leftrightarrow& \forall n \in \mathbb{N}, ~~\frac{4n+3}{n(n+1)(n+2)}= \frac{ \alpha n+ \beta }{ (n+1)(n+2) } - \frac{ \alpha (n-1)+ \beta }{ n(n+1) } \\[5pt]
&\Leftrightarrow& \forall n \in \mathbb{N},~~4n+3= ( \alpha n + \beta )n+\{ \alpha (n-1) + \beta \}(n+2) \\[5pt]
&\Leftrightarrow& \forall n \in \mathbb{N},~~4n+3= - \alpha n +2\alpha-2\beta \\[5pt]
&\Leftrightarrow& -\alpha =4~~ \land ~~ 2\alpha-2\beta = 3 \\[5pt]
&\Leftrightarrow& \alpha =-4~~ \land ~~ \beta = -\frac{11}{2} \\[5pt]
\end{eqnarray}

ゆえに、 \displaystyle f(n)= \frac{ -4(n-1)- \displaystyle \frac{11}{2} }{ n(n+1) } であり、

\begin{eqnarray}
\sum_{k=1}^n\frac{4k+3}{k(k+1)(k+2)} &=& \sum_{k=1}^n f(k+1)-f(k) \\[5pt]
&=& f(n+1)-f(1) \\[5pt]
&=& \frac{-4n-\displaystyle \frac{11}{2}}{(n+1)(n+2)}-(-\frac{11}{4}) \\[5pt]
&=& \frac{n(11n+17)}{4(n+1)(n+2)} \\[5pt]
\end{eqnarray}