鈴木貫太郎先生の2019年1月17日の一題

 


鹿児島大（医他）数列の和　高校数学

問題

解答

\displaystyle f(n)= \frac{ \alpha (n-1)+ \beta }{ 2^{n-1} } とおいて、 \displaystyle \forall n \in \mathbb{N},~~\frac{2n-1}{2^n}=f(n+1)-f(n) \cdots ① が成立する \alpha, \beta を求める。

\begin{eqnarray}
① &\Leftrightarrow& \forall n \in \mathbb{N}, ~~\frac{2n-1}{2^n}= \frac{ \alpha n+ \beta }{ 2^n } - \frac{ \alpha (n-1)+ \beta }{ 2^{n-1} } \\[5pt]
&\Leftrightarrow& \forall n \in \mathbb{N},~~2n-1= \alpha n+ \beta  - 2\{ \alpha (n-1)+ \beta \} \\[5pt]
&\Leftrightarrow& \forall n \in \mathbb{N},~~2n-1= -\alpha n+2\alpha- \beta \\[5pt]
&\Leftrightarrow& \alpha =-2~~ \land ~~ \beta = -3 \\[5pt]
\end{eqnarray}

ゆえに、 \displaystyle f(n)= \frac{ -2 (n-1)-3 }{ 2^{n-1} } であり、

\begin{eqnarray}
\sum_{k=1}^n\frac{2k-1}{2^k} &=& \sum_{k=1}^n f(k+1)-f(k) \\[5pt]
&=& f(n+1)-f(1) \\[5pt]
&=& \frac{-2n-3}{2^n}-(-3) \\[5pt]
&=& 3-\frac{2n+3}{2^n} \\[5pt]
\end{eqnarray}